对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学的语言透露给我们的。
——约翰内斯·开普勒
真实的宇宙是数学结构，数学结构就是宇宙，是可以计算的。元宇宙是信息的集合，是真实世界的映射。所以，真实世界和元宇宙都是可计算的。数学结构、形式系统和计算之间存在紧密关系。如果真实世界和虚拟世界都是数学的存在方式，以下问题是需要探索的：（1）为什么说宇宙就是数学结构？（2）如果世界是数学的一种表达，世界是否就是一个代码的世界？宇宙中是否存在一个程序员？（3）如果元宇宙最终是数学机构，那么哪些数学工具最接近元宇宙？
从古希腊数学家毕达哥拉斯到开普勒
毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约公元前500至490年）提出“万物皆数”的思想。以毕达哥拉斯信徒组成的学派，多是自然科学家，将数学和神学相结合，视美学为自然科学的一个组成部分，认为宇宙由某种数量关系所决定，呈现为按照一定的数量比例而构成的和谐秩序。最能代表毕达哥拉斯派的就是他们所祈祷的“圣十”（Tetractys），这其实就是一种通过数学表达的简单的元宇宙思维。
图2.6 神秘符号“圣十”
资料来源：https：//en.wikipedia.org/wiki/Tetractys#/media/File：Tetractys.svg
2000年之后，德国天文学家和数学家开普勒是毕达哥拉斯的忠实追随者。1609年，开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）著作《新天文学》（Astronomia nova）出版，首次提出开普勒第一和第二定律，开启了人类探索宇宙的太阳与行星的数学联系。10年之后的1619年，开普勒出版《宇宙和谐论》（Harmonices Mundi），发现行星在轨道运动时，在最高和最低角速度之间有近似和谐的比例，并公布了开普勒第三定律，即“和谐定律”或“周期定律”：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。这是从亿万个数据中发现的规律，用公式表示“周期定律”为：
T是行星公转周期，k是常数（开普勒常数），一个只与被绕星体有关的常量。
按照开普勒定律，因为星球之间存在比例关系，所以宇宙处于和谐状态。
（网络上有爱因斯坦说过的一段话：这个世界可以由数学的公式组成，也可以由音乐的音符组成。Einstein said，“The world can be composed of musical notes， and can also be composed of mathematical formula. Then the music with mathematical formulas， is really a complete world.”但是，无法确定其出处。）
数学结构本身就是宇宙
又过了几个世纪，在21世纪伊始，物理学家和数学家斯蒂芬·沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）在他的著作《一种新科学》（A New kind of Science）中阐述了这样的世界观：自然界的本质是计算，但计算的本质必须用实验探索。如果真的建立了宇宙模型，一切都可计算，那么全部物理问题就都还原成了数学。（2002年，斯蒂芬·沃尔夫勒姆的著作《一种新科学》得以问世，基于4 000多个夜晚的工作，敲击一亿次键盘，移动一百多英里的鼠标，记录上万页的笔记，加上10G的硬盘存储、一百万行编程、一千万亿次的电脑运算。）
2007年，马斯克的导师，也是《生命3.0》的作者迈克斯·泰格马克，发表论文《数学宇宙》，提出数学宇宙假说。2014年，泰格马克将这篇论文扩展成著作《我们的数学宇宙》（Our Mathematical Universe： My Quest for the Ultimate Nature of Reality）。泰格马克提出“可计算宇宙假说”（Computable Universe Hypothesis，CUH）：外部物理其实是一个数学结构，该结构是可以由计算函数来定义的。在数学宇宙假说的语境中，不需要向方程“赋予”什么生命，不是数学结构如何描述了宇宙，而是数学结构本身就是宇宙。“我们宇宙中的万事万物，都是纯粹的数学……并且，它不仅某些方面是数学，它的全部都是数学，包括你在内。”（迈克斯·泰格马克.穿越平行宇宙［M］ .汪婕舒，译.杭州：浙江人民出版社，2017.）所以，宇宙中没有任何一个物理性质是不可计算/不可判定的。物理其实是一个数学结构，这个数学结构无论从哪方面看，都能被数学加以定义，进而可以推理出：数学宇宙假说本质上是可检验的，也是可证伪的。这就意味着可以消除阿隆佐·邱奇（Alonzo Church，1903—1995）、图灵和哥德尔（Kurt Friedrich G?del， 1906—1978）关于现实世界不完整或不一致的集体性“顾虑”。
如果承认外部物理世界其实是一个有限的数学结构，就落入了可计算宇宙假说的“陷阱”，从根本上影响人类关于数学结构和计算关系的传统认知：（1）计算只是数学结构的特殊情况；（2）不是数学结构定义计算，而是计算定义数学结构；（3） 计算和数学结构分别与形式系统（formal systems）相关联。所谓形式系统，就是数学家们用于公理和推理规则所组成的抽象符号系统。按照可计算宇宙假说，外部物理所体现的数学结构，最终可以通过可计算的方程定义。所以，宇宙的数学性质最终成为科学家在理论上可以预测物理学的一种观察或测量。历史上最有说服力的案例是，数学预测行星海王星的存在在先，天文学家观测到海王星在后。不得不说，泰格马克将宇宙本身就是数学的思想推向极致。
泰格马克在《我们的数学宇宙》第九章《宇宙是由数学写作的伟大之书》中对前几章做了总结：（1）从内禀性质的意义上说，空间是一个纯粹的数学对象，因为它唯一的内禀性质就是以数字代表的数学性质，例如，维度、曲率和拓扑性。（2）物理世界的所有“物体”，都是由基本粒子构成的。从内禀性质意义上说，基本粒子就是通过数学表达的存在，因为它们唯一的内禀性质都是数学性质，例如，电荷自旋和轻子数。（3）比三维空间及其内部的基本粒子更加基本的东西，就是波函数及其栖身的无限维度的希尔伯特空间。（迈克斯·泰格马克.穿越平行宇宙［M］ .汪婕舒，译.杭州：浙江人民出版社，2017.）
大自然的定律不仅是可计算的，也是有限的
约翰·惠勒提出了一个至今无人能回答的问题：为什么会是这些特定的公式，而不是其他公式呢？霍金在《时间简史》中提出一个类似的深刻问题：是什么赋予这些方程以生命去制造一个为它们所描述的宇宙？不仅惠勒，还有一些数学家也发现宇宙是由一套不可变的规则所管辖的，例如，热力学、重力、磁性等，而且可以通过数学结构描述这些宇宙规则。物理定律是可计算的。或者说，大自然的定律不仅是可计算的，而且是有限的。康拉德·楚泽（Konrad Zuse，1910—1995）、约翰·巴罗（John D. Barrow，1952—2020）、尤尔根·施密特胡贝尔（Jürgen Schmidhuber，1963—）和斯蒂芬·沃尔夫勒姆就是这些数学家的代表。
数学结构创造“现实世界”
经过数学所创造的所谓“外部物理现实”存在，可以动摇对于“现实”的唯一性与唯物性。如果无限宇宙理论最终仍然是数学结构，物理学的存在终究会与数学发生重合。例如，物理学最基本的单位是夸克，夸克是由电荷、重子、自旋、同位旋组成，再加上一些质量，最终的存在就是一种数学表达。所以，迈克斯·泰格马克特别强调，粒子可以被创生，也可以被消亡，还可以同时处在几个不同的位置。但是，不管过去、现在还是将来，波函数都只有一个，它在希尔伯特空间中循着薛定谔[插图]方程决定的路径运动着，而波函数和希尔伯特空间都是纯粹的数学对象。其中，粒子是纯粹的数学对象，所有已知的基本粒子都可以由一套独特的“量子数”来进行描述。除了自身的量子数以外，粒子不具有任何其他性质。
表2.1 不同的粒子所具有的量的数目
数学的局限性
“数学曾经被视为是精密论证的最高峰，它本身不但是道理，同时也是万物运行背后的道理。”[插图]在19世纪后半期，曾经有过引人注目的“数学严密化运动”（rigorization of mathematics）。“到1900年，数学家们确信已实现了自己的目标。尽管他们不得不满足于数学仅能作为对宇宙的一个近似描述的观点，许多人甚至放弃了宇宙数学化设计这一信念，但的确庆幸他们重建了数学的逻辑结构。”（莫里斯·克莱因.数学简史：确定性的消失[M].李宏魁，译.北京：中信出版社，2019.）
这一切的改变是因为哥德尔在1931年发表了“哥德尔不完备定理”（Godel’ incompleteness theorem）。该原理的核心思想是宇宙总有人类的理性无法抵达的地方，宇宙之间全部的真理不能缩小到有限的数量。“哥德尔不完备定理”不仅是数学史上划时代的事件，也是现代逻辑史上的重要里程碑，引发了深刻的数学危机，导致确定性消失。所以，20世纪最伟大的数学家之一赫尔曼·外尔（Hermann Weyl，1885—1955）指出：“‘数学化’很可能是人类原始创造力的一项创造性活动，类似于语言或音乐，其历史观点否认完全客观的合理性。”
当我们讨论宇宙、数学和计算的关联性，还是没有可能全然摆脱“哥德尔不完备定理”的存在和影响。通过数学所表达和呈现的元宇宙，需要限定其维度和结构。
人类大脑有很多神经元，连接点达到了上百万亿，这些神经元和结点之间有着非常密切的交流，几乎每一个神经元都和数万亿个神经元连在一起，牵一发而动全身。人类的大脑是一个逆反宇宙潮流的低熵的产物。卡尔·爱德华·萨根（Carl Edward Sagan，1934—1996）提出：“大脑是一个非常大的地方，在很小的空间里”；“意识可能是信息在以某种非常复杂的方式处理时人的觉察”。
人类大脑系统与宇宙系统相似。或者说，人类大脑是宇宙中一种最为复杂的结构形态。宇宙由很多星球组成，每个星球之间或许都存在密切联系。在银河系当中，很多星球之间也是相互制衡的。理论上说，人类大脑可以通过计算机模拟。但是，这个世界最难被编程的是人的大脑意识。人们普遍认为，如果把每个神经元的互动都记作一次运算，仅仅一个人的大脑每秒钟都会产生1020次运算。按照程序原则，时间轴可以任意切换，如果同时模拟人类所有历史的任意时刻，人类历史大约产生了2 000亿人，平均寿命为50年，一年有3 000万秒，这台超级电脑需要每秒处理1042次运算，这比地球上所有沙子的数量还要多。
超级电脑的出现是模拟虚拟世界的重要条件。至少在可以预见的未来，人类所能发明的超级计算机，要追上和超越人类大脑，是难以实现的目标。2005年，IBM和瑞士大学合作启动“蓝脑工程”，旨在用超级计算机模拟人脑的认知、感觉、记忆等多种功能。根据神经突触数量及放电频率，有人估计，人脑的运算速度为每秒1016 ~ 1017次。而截至2012年底，世界上最快的计算机——IBM公司的“红杉”的运算速度恰好达到每秒1017次。现在，人们寄希望于量子计算机的开发。量子运算速度可以让所有“古典”超算黯然失色。
人类大脑的进化缺陷在于，“硬盘”空间很大，但是“内存”很小。心灵是一种有意识的自我感觉。如果大脑只是数学，就意味着自由意志不存在，因为粒子的运动可以用方程计算。
数学家的直觉的重要性大于逻辑，他们凭借直觉获得对（复杂性）结构的感知、探索与掌控。20世纪，数学家柯朗（Richard Courant，1888—1972）在《什么是数学》一书中提出：“数学家在直觉指引下的构造性思维，其实就是数学动力的真正源泉。数学家的构造性直觉，给数学带来了一个非演绎且非理性的要素，这是可以和音乐与艺术相比拟的。”1966年，数学家马克·卡克（Mark Kac，1914—1984）提出了一个留名科学史的问题：“有人能听出鼓的形状吗？”毕竟，不同形状的鼓会产生不同频率的波，因此会产生不同的声音。但这些信息足以确定出鼓的形状吗？当时，卡克认为答案是不能。但是，后来一系列研究指出，卡克的看法不对。利用恒星和其他天体发出的光频率，科学家可以确定这些物体的外观。沃尔特·范·苏伊克科姆（Walter van Suijlekom）说：“我们正在开发使之成为可能的数学。通过这种方式，我们描述了当只有有限数量的振动可用时，如何计算物体的形状，就像在物理实验中一样。”这意味着，原则上我们也可以使用有限数量的频率来估计宇宙的形状。
第二次世界大战最终推动了计算机的诞生，计算机的核心是二进制编程，启动了人类信息化的进程，由此改变了世界存在的基础。如果说，宇宙规则和物理定律是可计算的，那么外部物理世界就可以被量化和编程。实现编程需要代码，基本单位是比特。
代码有着它们自己的生命。DNA是生命的代码，如同二进制码，四种化学物质都可以排列组合成上百万种复杂的序列。概括地说，从微观到宏观，从非连续性到连续的过程，就是一个从量变到质变，从0到1的积累过程。数据流过层层结构，被层层过滤，形成了不同的排列和组合，这就产生了多样性。而数据会构建组合出新的结构，结构又会塑造数据的组合和路径，这就产生了自组织性。数学和信息，也将会一同抵达那一个结构，最终构建一个虚拟世界。
比特是实现信息量化的基础。宇宙编程所涉及的能量、信息、数据、模拟和计算，最终都需要通过基于比特的编程。可以将这样的过程理解为，冯·诺依曼和非冯·诺依曼计算体系的一种混合模式。任何计算机代码，如果给定特定输入，总是产生相同的结果。这很可能是物理定律可计算的原因。
所以，代码具有自己的生命力和运行方式，是这个星球的隐形生命力量的引擎。代码的运行可以是正面的，也可以是负面的。病毒不断地复制自身，侵入人类身体，就是以一种破坏性为任务的代码运行。
所以，尼克·博斯特罗姆（Nick Bostrom，1973—）通过一个模拟论证得出一个令人震惊的结论：我们极有可能是未来人类模拟出来的虚拟存在。天体物理学家尼尔·德格拉斯·泰森（Neil de Grasse Tyson，1958—）、企业家埃隆·马斯克也都认为，世界是一个被设计的程序。也就是说，世界的一切，都可以理解为不同类型的代码。代码就是对信息碎片的整理方式。
近些年来，不仅科幻作家，很多的科学家也主张人类世界本身就是一个巨大的程序、一种高级文明程序。这样的认知正在蔓延并深入人心。
问题是，人类世界的程序控制在谁的手中？2001年，美国一位科学家做过估算，构建一个完美、精确到原子的虚拟宇宙，模拟现实世界的电脑，需要不可想象的超级算力，所消耗的能量会超出宇宙的总能量。所以，没有一个高级的智慧生命会愚蠢到花费如此巨大的成本做这样的模拟。还有，为什么基本物理规律“大道至简”——从光子到原子、分子，一直演化到星云、星系，包括太阳系和地球诞生、生命出现，最终决定于几个基本的物理规则，并充满了对称的美？为什么物理常数过于微妙？光速为299 792 458 m/s，为什么非取这个值？为什么没有取300 000 000 m/s这样的常数？特别是，为什么光速无法突破？过去的解释都是牵强的。符合逻辑的推理是，很可能存在一个宇宙编程的主宰者、一位“大程序员”，它具有简化程序和算力的能力，并将人类纳入模拟。不仅如此，这位“大程序员”并不希望被人类窥觊其编程原理和过程。证明这个“大程序员”的存在，存在太多证据。
在1999年《黑客帝国》上映几周之前，有天文学家分析了来自遥远星系的光束，声称发现宇宙的一些“常数”可能并不是恒定不变的，特别值得一提的是一个叫“精细结构”的基本物理学常数，比100亿年前增大了大约十万分之一——这是否暗示我们的宇宙真是一个“大程序员”设计的？
只有在这样的思维想象中，才有可能逼近对《道德经》中“道可道，非常道”及《约翰福音》中“太初有道，道与神同在”的理解。这里中文的“道”，英文是word，也就是“话语”的意思。人们不得不面对一种很难被证明的宗教信仰难题：上帝是否凭借他的“话语”创造了人类的“物质世界”及自然规律？
美国物理学与天文学家理查德·亨利提出，在Renniger类型的实验中，波函数之所以坍缩，就是因为人的心智什么也没有看见。他的结论是，宇宙是非物质的——是心智性的和精神性的。更进一步，需要重新认知人类意识的地位。美国生物科学家罗伯特·兰扎指出：人们的意识创造了宇宙，而不是宇宙创造了人们的意识，时空是“意识工具”。没有意识，所有的物质都会处在一个不确定的状态下。不仅如此，时间不是真的存在，空间也只是人们感知事物的一个概念。任何关于时间和连续性的看法实际上都是一种错觉，而死亡不过是人类意识所创造的一种幻觉。
所以，实体物质不是实体。宇宙的本质是一种“精神”结构。英国数学家、物理学家詹姆斯·金斯（James Hopwood Jeans，1877—1946）写道：“知识之流目前正朝着非机械现实的方向走；宇宙的存在目前看起来更像是巨大的思想，而非巨大的机械。对物质领域来说，心灵不再是偶然出现的入侵者。我们反而应该将其视为物质领域的创造者以及领导者。”
泰格马克在《穿越平行宇宙》中，不仅提出了“数学宇宙”概念，而且提出“多重宇宙”的概念，解析了穿越“平行宇宙”的“一个四层级结构”，或者四层金字塔结构。这正是该书最为核心的内容之一。
第一层，空间中观测不到的遥远区域。第一层位于行星表面附近的区域，包含着其他类地行星，光线没有足够的时间赶上人类。第一层的证据：微波背景测量指向平坦的无限宇宙和大尺度上的光滑可以假设。第一层无限空间，物质分布在统计学上均匀。从这些行星上所看到的宇宙微波背景辐射模式或星座图景多种多样。从地球上拍到的WMAP探测天图包含的信息，或者一张北斗七星的照片，可以看到人类在多重宇宙中的位置信息，在太空中处于生命繁盛的只占有极小位置。
第二层，其他暴胀停止的区域。贫瘠的荒漠，生命被局限在太空中小小的“宜居带”内。只有这里的暗能量密度等物理参数适宜生命的繁衍生息。同样的基本物理定律，时空拥有多种相，但是，参数、粒子和维度可能不同。第二层覆盖的区域，由于人类与它们之间的空间发生了宇宙学暴胀而永远遥不可及。
第三层，量子希尔伯特空间中的其他地方，即希尔伯特空间内无法交流的各部分，也就是休·埃弗雷特三世（Hugh EverettⅢ，1930—1982）所说的“多世界”。第三层的特征与第二层相同。第三层的假设是物理学幺正性（unitarity），指的是某个物质于时刻t在全空间找到粒子的总概率等于1。在第三层，大部分停止暴胀的宇宙在遵循量子力学的时间发展过程，几乎没有包含任何信息，无法告诉人类任何关于物理的存在，它只能告诉人类在第四层中的位置。量子力学薛定谔方程，让第三层多重宇宙中的观察者感知到主观上的随机性。如果一个人被克隆出另一个“人”，两者分别感知着不同的事物，无法预测自己下一步将感知到什么东西，就会感知到随机性。
第四层，可能像一片幅员广袤但了无人烟的沙漠，生命只被局限在极其罕见的绿洲中。第四层始于一个迥然不同的地方，导致大部分传统物理学概念都需要重新解释。第四层最简单的描述是，它本质上不需要任何信息，不需要火箭或望远镜，只需要计算机和想法。数学宇宙假说暗示，数学存在等同于物理存在，所有的数学中的结构都存在于物理中，构成了第四层多重宇宙。第四层宇宙像穿梭于不同调式中的翩翩舞者，涉及不同的公式，对应着不同的数学结构。在数学宇宙假说的语境中，第四层多重宇宙的存在是毋庸置疑的。第四层没有任何自由变量，所有平行宇宙的全部性质原则上都能由一个极其聪明的数学家推导出来。第四层的特征是拥有不同的基本物理定律。假设数学上的存在等于物理学上的存在，那么，便可以回答惠勒或霍金的问题：“为什么是这些方程，而不是其他的呢？”
上述的第一层、第二层和第三层平行宇宙，都遵循着相同的基本数学公式。在第四层，智能生命似乎很罕见。多重宇宙还引发了如下问题：（1）复杂性。复杂性已经暗示了多重宇宙的存在。人们多感觉的复杂性，常常被认为是无法得以证明的幻觉。其实，追溯人们大脑中的幻觉本源，很可能与多重宇宙中的地址信息有关。（2）随机性。多重宇宙导致任何主体的自我认知处于“随机性”状态。道理很简单，既然存在多重宇宙，必然存在多重的你。观测位于哪个宇宙中，就可以推断出哪个你在进行观测。这个观念对我们理解元宇宙很有启发，元宇宙的非唯一性产生主体的分裂，或者形成多重的“你”。克隆也是一种元宇宙实践，其后果是被克隆的“你”和克隆出来的“你”并存。（3）“初始条件”。物理学家对“初始条件”不感兴趣，把它交付于天文学家、地理学家、地质学家。如果存在一个万物理论，万事万物都“始于”或“创生于”某种不能完全规定的状态，那么这个理论就形成了一个不完备的描述，与数学宇宙假说相违背。数学结构不能只有其中一部分是确定的。依据数学宇宙假说，不存在未定义好的初始条件，只存在在多重宇宙中的方位。[插图]
在以上“四层结构世界”中，论证人类存在的确切位置，其实是困难的。泰格马克最终的结论依然是不清晰的，甚至语焉不详。因为这个问题很可能永远没有答案。20世纪的哲学家罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）写过这样的“哲学诗”：在某种意义上必须承认/我们永远都不能证明在我们自身之外/和我们经验之外的那些事物的存在/世界是由我自己、我的思想、感情和感觉所组成的/其余一切都纯属玄想。
1950年的一天，物理学家费米（Enrico Fermi，1901—1954）在和别人讨论飞碟及外星人问题时，突然发问：“他们都在哪儿呢？”这个“他们”就是指外星人。之后，费米这个问题成为在天文学界具有相当影响的著名的“费米悖论”，即人类对于地外文明存在性的过高估计和缺少相关证据之间的矛盾。在“费米悖论”的背后，其实是人类是否是包括地外文明的唯一“主体”，以及宇宙生命和宇宙大爆炸的关系问题。如果人类不是唯一文明形态，很可能是对泰格马克的“四层级结构”理论的另外一种支持。假设外星人存在，他们和地球人可以分别以各自的形式存在于“四层级结构”中。
现在回到元宇宙，人们可以基于超级先进的数字技术，创新思考元宇宙。从数学的视角看：元宇宙代表的虚拟世界和物理世界是相通的，甚至可以认为，元宇宙的本质是现实物理世界和虚拟世界的中间形态。元宇宙可以试验和证明，数学结构和编程不仅可以创造，而且可以通过虚拟现实技术模拟和展现这个多维度“现实世界”。不仅如此，在元宇宙中，很可能不存在“费米悖论”。