二进制计算(二进制计算机原理)

啥是二进制计数法？

二进制计数法是计算机设计的基础，它只用两个数码0和1来表示数，在计数时，满二进一（而十进制计数法需要十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在计数时是满十进一）．

十进制中的数码0，在二进制中仍是0，十进制中的1，在二进制中也仍是1．但十进制中的2，在二进制中就没有2，那如何表示二进制中的2呢？

十进制中的加法运算在二进制中仍然成立。二进制中的2就是二进制中的1+1的和，由于1+1满2就得进一，由于恰好是2，所以末位数（相当于十进制中的个位数）记为0，前一位数（相当于十进制中的十位数）记为1，结果就是10.也就是说，二进制中的1+1=10；

同样地，在二进制中的1011+11，其算法类似于十进制中的加法，但要注意满2进一，不能出现0和1以外的数码。将1011的“个位数1”与11的“个位数1”相加，得10，写0进1；再将1011的“十位数1”与11的“十位数1”相加，得10，再加上进位得到的1，得11，写1进1，再将1011中的10与进位的1相加，得10+1=11。

所以二进制中的1011+11=1110；

为了表示一个数是二进制记数法，通常在这个数的右下角写上（2）．如十进制中的2在二进制中写成10_（2），3在二进制中写为11（2），4写成100_（2），5写成101_（2），6写成110_（2），…，也就是说，在二进制中，0＋0＝0（也可以看作是十进制中的0＋0＝0），二进制中1＋1＝10（即十进制中的1＋1＝2），二进制中的10＋1＝11（即十进制中的2＋1＝3），二进制中的11＋1＝100（即十进制中的3＋1＝4），二进制中的100＋1＝101（即十进制中的4＋1＝5）……

二进制数通常写成以2为底数的幂的和的形式．即二进制的数：N＝a₁a₂…a_n（a₁，a₂，…，a_n为1或0）可以写成N＝a₁×2^n-1＋a₂×2^n-2＋…＋a_n×2⁰（这里2⁰＝1），计算后的结果便是十进制中的数．如：

11010011_（2）化为十进制的数是：

1×2⁷+1×2⁶+0×2⁵+1×2⁴+0×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰+

＝1×128＋1×64＋0＋1×16＋0＋0＋1×2＋1×1＝211．

因此，二进制中的11010011化为十进制，就是211．

反过来，要把一个十进制的数化为二进制的数，一般有两种方法：

1．把十进制的数写成以2为底的幂的和的形式．如：化22为二进制数．

因为22＝16+4+2=2⁴+2²+2¹，

所以22＝1×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰

把2的n次幂前的数1，0，1，1，0依次排列即得10110，这就是十进制中的22在二进制中对应的数．

2．利用二除取余法：即把十进制数除以2，一直除到商为0为止，每次取余数0或者1，依次作为从右边到左边的字节．如：化22为二进制数．

22÷2＝11……0，11÷2＝5……1，5÷2＝2……1，2÷2＝1……0，1÷2＝0……1

所以22＝10110_（2）．，

在二进制中同样可以进行减法运算．如10-10=0，110-11=11，1011-1101=-（1101-1011）=-10．

思考下列问题：

（1）十进制中的16在二进制中对应的数是 ，二进制中的111001在十进制中对应的数是 ；

（2）在二进制中计算：101+11= ，10111-11001= ；

（3）请利用二进制记数法计算1＋2＋2²+2³+…+2²⁰¹³-2²⁰¹⁴．